Zastosowanie prawa Gaussa: Liniowy rozkład ładunku

Obliczymy pole $ E $ w odległości $ r $ od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długości $ l>>r $. W tym celu wprowadzamy liniową gęstość ładunku $ \lambda $ równą ilości ładunku przypadającego na jednostkę długości pręta $ \lambda= Q/l $. Ze względu na symetrię układu jako powierzchnię Gaussa wybierzmy walec (oczywiście można wybrać dowolny kształt) o promieniu $ r $ większym od promienia pręta $ R $, bo chcemy policzyć pole na zewnątrz pręta (zob. Rys. 1 ).

$: Pręt naładowany z gęstością liniową {OPENAGHMATHJAX()}\lambda{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Pręt naładowany z gęstością liniową $ \lambda $

Z prawa Gaussa

(1)

$ {\oint {\mathit{{\bf E}\cdot d{\bf S}}=\frac{\mathit{\lambda l}}{\varepsilon _{{0}}}}} $

Ze względu na symetrię pole elektryczne $ {\bf E} $ jest skierowane radialnie względem pręta, tzn. jest prostopadłe do bocznej powierzchni walca (powierzchni Gaussa). Strumień pola $ E $ przez podstawy walca jest więc równy zeru, bo $ {\bf E} $ leży na bocznej powierzchni. Ponadto pole elektryczne ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni bocznej walca więc spełnione jest równanie

(2)

$ {\mathit{E }2\pi rl=\frac{\mathit{\lambda l}}{\varepsilon _{{0}}}} $

lub

(3)

$ E=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon_0 r} $

Teraz obliczymy pole wewnątrz jednorodnie naładowanego pręta. Ponownie wybieramy powierzchnię Gaussa w kształcie walca, ale o promieniu $ r< R $. Wprowadzamy gęstość objętościową ładunku $ \rho $ równą ładunkowi przypadającemu na jednostkę objętości. Możemy zapisać ładunek zamknięty wewnątrz powierzchni Gaussa

(4)

$ Q_{\text{wewn.}}={\rho\pi }r^{2} $

Z prawa Gaussa otrzymujemy

(5)

$ 2\pi rlE=\frac{Q_{\text{wewn.}}}{\varepsilon_{0}}=\frac{\rho \pi r^{2}l}{\varepsilon _{0}} $

a stąd

(6)

$ {E=\frac{\mathit{\rho r}}{2\varepsilon _{{0}}}} $

Pole rośnie liniowo w miarę oddalania się od środka pręta.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Zastosowanie prawa Gaussa: Liniowy rozkład ładunku